En una olla grande, cubra las pechugas de pollo con agua. Lleve a fuego lento y cocine durante 15 a 20 minutos, o hasta que esté bien cocido. Retira el pollo del agua y deja enfriar. Cortar en trozos, sazonar con sal y pimienta y guardar.
Unta la mitad del queso sobre 4 tortillas. Cubra con el pollo y las cebollas verdes. Agregue una capa final de queso y extienda suavemente el relleno de manera uniforme alrededor de la tortilla, dejando un espacio alrededor de los bordes. Cubra con las tortillas restantes.
Calienta una sartén grande o una plancha a fuego medio-alto. Coloque una tortilla rellena en la sartén y cocine por unos 3 minutos o hasta que el fondo esté dorado. Voltee cuidadosamente la quesadilla y cocine por otros 2 a 3 minutos hasta que el segundo lado esté dorado y el queso esté completamente derretido.
Retirar de la sartén y repetir con las quesadillas restantes. Deje que se enfríen durante unos minutos antes de cortar en 4 a 6 piezas.